Graniastosłup prawidłowy czworokątny – definicja, wzory i przykłady

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to bryła przestrzenna, której podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostokątami. Jest to szczególny przypadek graniastosłupa, gdzie wszystkie boki podstawy są równe, a ściany boczne są prostopadłe do podstawy. W przypadku tego graniastosłupa, jego wysokość jest odległością między dwiema równoległymi podstawami.

Cechy charakterystyczne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:

• Podstawa jest kwadratem, więc wszystkie boki są równe.
• Ściany boczne są prostokątami, a ich liczba jest równa liczbie boków podstawy (w tym przypadku 4).
• Wysokość graniastosłupa jest odległością między podstawami i jest prostopadła do nich.

Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Aby obliczyć objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, korzystamy z następującego wzoru: V=Pp⋅hV = P_p \cdot hV=Pp​⋅h

Gdzie:

• VVV – objętość graniastosłupa,
• PpP_pPp​ – pole podstawy (w przypadku kwadratu będzie to a2a^2a2, gdzie aaa to bok kwadratu),
• hhh – wysokość graniastosłupa (odległość między podstawami).

Wzór na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Aby obliczyć pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, musimy dodać pole dwóch podstaw oraz pole powierzchni bocznej. Zatem wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wygląda następująco: Pc=2⋅Pp+PbP_c = 2 \cdot P_p + P_bPc​=2⋅Pp​+Pb​

gdzie:

• PcP_cPc​ – pole powierzchni całkowitej,
• PpP_pPp​ – pole podstawy (dla kwadratu Pp=a2P_p = a^2Pp​=a2),
• PbP_bPb​ – pole powierzchni bocznej (w przypadku graniastosłupa o czterech ścianach bocznych prostokątnych).

Pole powierzchni bocznej PbP_bPb​ obliczamy jako sumę pól czterech prostokątnych ścian bocznych: Pb=4⋅(a⋅h)P_b = 4 \cdot (a \cdot h)Pb​=4⋅(a⋅h)

gdzie:

• aaa – bok kwadratu (podstawy),
• hhh – wysokość graniastosłupa.

Obliczenia przykładowe dla graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Załóżmy, że mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny o boku podstawy a=4 cma = 4 \, \text{cm}a=4cm oraz wysokości h=10 cmh = 10 \, \text{cm}h=10cm. Obliczmy jego objętość oraz pole powierzchni całkowitej.

1. Obliczenie objętości

Znamy wzór na objętość: V=Pp⋅hV = P_p \cdot hV=Pp​⋅h

Podstawiamy wartości: Pp=a2=42=16 cm2P_p = a^2 = 4^2 = 16 \, \text{cm}^2Pp​=a2=42=16cm2 V=16⋅10=160 cm3V = 16 \cdot 10 = 160 \, \text{cm}^3V=16⋅10=160cm3

Objętość graniastosłupa wynosi 160 cm³.

2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Znamy wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=2⋅Pp+PbP_c = 2 \cdot P_p + P_bPc​=2⋅Pp​+Pb​

Gdzie: Pp=a2=16 cm2P_p = a^2 = 16 \, \text{cm}^2Pp​=a2=16cm2

A pole powierzchni bocznej PbP_bPb​: Pb=4⋅(a⋅h)=4⋅(4⋅10)=160 cm2P_b = 4 \cdot (a \cdot h) = 4 \cdot (4 \cdot 10) = 160 \, \text{cm}^2Pb​=4⋅(a⋅h)=4⋅(4⋅10)=160cm2

Zatem: Pc=2⋅16+160=32+160=192 cm2P_c = 2 \cdot 16 + 160 = 32 + 160 = 192 \, \text{cm}^2Pc​=2⋅16+160=32+160=192cm2

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi 192 cm².

Graniastosłup prawidłowy czworokątny w praktyce

1. Zastosowanie w budownictwie

Graniastosłupy prawidłowe czworokątne są wykorzystywane w różnych dziedzinach inżynierii, zwłaszcza w budownictwie. Konstrukcje o takim kształcie, jak słupy i filary budynków, mostów, czy wież, są powszechne. Konstrukcje graniastosłupowe zapewniają dużą stabilność i wytrzymałość, dlatego są szeroko stosowane w projektach budowlanych.

2. Zastosowanie w architekturze

W architekturze graniastosłupy prawidłowe czworokątne często pojawiają się jako elementy dekoracyjne, ale także w funkcjonalnych częściach budynków, takich jak filary czy kolumny. Ich symetryczny kształt i równe boki sprawiają, że są łatwe do zaplanowania i wykonania, a także dają estetyczne efekty wizualne.

3. Zastosowanie w naukach ścisłych i technologii

W naukach ścisłych, szczególnie w fizyce i geometrii, graniastosłupy prawidłowe czworokątne są wykorzystywane w obliczeniach objętości i powierzchni różnych struktur. Dzięki swojej prostej budowie, graniastosłupy tego typu są idealnym modelem do zastosowań w matematycznych obliczeniach i symulacjach komputerowych.

4. Zastosowanie w optyce

W optyce graniastosłupy mogą być wykorzystywane w produkcji pryzmatów, które są wykorzystywane w różnego rodzaju instrumentach optycznych, takich jak lornetki czy lunety. Ich symetryczna konstrukcja pozwala na efektywne manipulowanie światłem, rozszczepianie promieni świetlnych czy analizowanie długości fal.

Przykłady obliczeń dla różnych wymiarów graniastosłupa

1. Graniastosłup o podstawie kwadratu o boku 5 cm i wysokości 12 cm

Załóżmy, że mamy graniastosłup, którego bok podstawy wynosi 5 cm, a wysokość 12 cm. Obliczmy jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

Obliczenie objętości:

Pp=a2=52=25 cm2P_p = a^2 = 5^2 = 25 \, \text{cm}^2Pp​=a2=52=25cm2 V=Pp⋅h=25⋅12=300 cm3V = P_p \cdot h = 25 \cdot 12 = 300 \, \text{cm}^3V=Pp​⋅h=25⋅12=300cm3

Objętość wynosi 300 cm³.

Obliczenie pola powierzchni całkowitej:

Pb=4⋅(a⋅h)=4⋅(5⋅12)=240 cm2P_b = 4 \cdot (a \cdot h) = 4 \cdot (5 \cdot 12) = 240 \, \text{cm}^2Pb​=4⋅(a⋅h)=4⋅(5⋅12)=240cm2 Pc=2⋅Pp+Pb=2⋅25+240=50+240=290 cm2P_c = 2 \cdot P_p + P_b = 2 \cdot 25 + 240 = 50 + 240 = 290 \, \text{cm}^2Pc​=2⋅Pp​+Pb​=2⋅25+240=50+240=290cm2

Pole powierzchni całkowitej wynosi 290 cm².

2. Graniastosłup o podstawie kwadratu o boku 10 cm i wysokości 8 cm

Dla graniastosłupa o podstawie kwadratu o boku 10 cm i wysokości 8 cm obliczymy jego objętość i pole powierzchni.

Obliczenie objętości:

Pp=a2=102=100 cm2P_p = a^2 = 10^2 = 100 \, \text{cm}^2Pp​=a2=102=100cm2 V=Pp⋅h=100⋅8=800 cm3V = P_p \cdot h = 100 \cdot 8 = 800 \, \text{cm}^3V=Pp​⋅h=100⋅8=800cm3

Objętość wynosi 800 cm³.

Obliczenie pola powierzchni całkowitej:

Pb=4⋅(a⋅h)=4⋅(10⋅8)=320 cm2P_b = 4 \cdot (a \cdot h) = 4 \cdot (10 \cdot 8) = 320 \, \text{cm}^2Pb​=4⋅(a⋅h)=4⋅(10⋅8)=320cm2 Pc=2⋅Pp+Pb=2⋅100+320=200+320=520 cm2P_c = 2 \cdot P_p + P_b = 2 \cdot 100 + 320 = 200 + 320 = 520 \, \text{cm}^2Pc​=2⋅Pp​+Pb​=2⋅100+320=200+320=520cm2

Pole powierzchni całkowitej wynosi 520 cm².

Tabela: Obliczenia objętości i pola powierzchni graniastosłupa

Bok podstawy (a)	Wysokość (h)	Objętość (V)	Pole powierzchni całkowitej (P_c)
4 cm	10 cm	160 cm³	192 cm²
5 cm	12 cm	300 cm³	290 cm²
10 cm	8 cm	800 cm³	520 cm²

Często zadawane pytania (FAQ)

1. Czym różni się graniastosłup prawidłowy czworokątny od innych graniastosłupów?

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma kwadratową podstawę, a jego ściany boczne są prostokątami. W innych graniastosłupach podstawa może mieć różny kształt, a ściany boczne mogą być innymi wielokątami.

2. Jak obliczyć objętość graniastosłupa o podstawie w kształcie prostokąta?

Objętość graniastosłupa o podstawie prostokąta oblicza się w podobny sposób, jak w przypadku kwadratu. Wzór to V=Pp⋅hV = P_p \cdot hV=Pp​⋅h, gdzie PpP_pPp​ to pole prostokątnej podstawy (długość × szerokość).

3. Jakie zastosowanie ma graniastosłup prawidłowy czworokątny w budownictwie?

Graniastosłupy prawidłowe czworokątne są wykorzystywane w budownictwie do projektowania filarów, słupów czy kolumn, które muszą być stabilne i równomiernie obciążone.

4. Czy wysokość graniastosłupa wpływa na objętość?

Tak, im większa wysokość graniastosłupa, tym większa jego objętość, ponieważ objętość jest proporcjonalna do wysokości, zgodnie z wzorem V=Pp⋅hV = P_p \cdot hV=Pp​⋅h.

5. Jakie są różnice w obliczaniu objętości graniastosłupa o różnych podstawach?

W zależności od kształtu podstawy, obliczenie objętości graniastosłupa może wymagać różnych wzorów na pole podstawy. Jednak zasada obliczania objętości pozostaje taka sama – pole podstawy pomnożone przez wysokość.