Okres drgań – definicja, wzory i przykłady obliczeń

Okres drgań to czas, w którym ciało wykonujące drgania przebywa pełny cykl ruchu. Jest to czas, po upływie którego układ wraca do swojego początkowego stanu. Okres drgań jest jednym z podstawowych parametrów charakteryzujących ruch drgający i ma zastosowanie w różnych dziedzinach fizyki, takich jak mechanika, akustyka, czy elektromagnetyzm.

W przypadku drgań harmonicznych okres jest związany z częstotliwością, która określa liczbę cykli drgań wykonywanych w jednostce czasu.

Definicja okresu drgań

Okres drgań TTT jest odwrotnością częstotliwości fff, która określa liczbę cykli drgań w ciągu jednej sekundy. Można to zapisać jako: T=1fT = \frac{1}{f}T=f1​

gdzie:

• TTT – okres drgań (w sekundach),
• fff – częstotliwość drgań (w hercach, Hz).

Okres drgań zależy od charakterystyki układu, który wykonuje drgania, takich jak masa ciała, jego sztywność, czy długość sprężyny.

Jednostka okresu drgań

Jednostką okresu drgań w układzie SI jest sekunda (s). Oznacza to, że jeśli okres drgań wynosi 1 s, to układ wykonuje jeden pełny cykl drgań w ciągu jednej sekundy. W przypadku większych okresów, jednostka ta może przyjąć wartości wyższe, np. minuty, godziny, w zależności od układu.

Wzory na okres drgań w różnych układach

1. Okres drgań układu sprężynowego

W przypadku układu sprężynowego, gdy masa mmm jest zawieszona na sprężynie o stałej sprężystości kkk, okres drgań można obliczyć za pomocą wzoru: T=2πmkT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}T=2πkm​​

Gdzie:

• TTT – okres drgań,
• mmm – masa ciała,
• kkk – stała sprężystości sprężyny,
• π\piπ – liczba pi (π≈3,1416\pi \approx 3,1416π≈3,1416).

Wzór ten dotyczy drgań harmonicznych w układzie sprężynowym, gdzie ciało wykonuje drgania wokół pozycji równowagi.

Przykład obliczeń:

Załóżmy, że mamy układ sprężynowy, w którym masa m=2 kgm = 2 \, \text{kg}m=2kg jest zawieszona na sprężynie o stałej sprężystości k=50 N/mk = 50 \, \text{N/m}k=50N/m. Obliczmy okres drgań. T=2πmk=2π250=2π0,04≈2π×0,2≈1,2566 sT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{2}{50}} = 2\pi \sqrt{0,04} \approx 2\pi \times 0,2 \approx 1,2566 \, \text{s}T=2πkm​​=2π502​​=2π0,04​≈2π×0,2≈1,2566s

Okres drgań wynosi około 1,26 s.

2. Okres drgań wahadła

W przypadku wahadła matematycznego, które składa się z cienkiego drutu i małej masy zawieszonej na końcu, okres drgań zależy od długości drutu LLL i przyspieszenia grawitacyjnego ggg. Wzór na okres drgań wahadła matematycznego jest następujący: T=2πLgT = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}T=2πgL​​

Gdzie:

• TTT – okres drgań,
• LLL – długość wahadła,
• ggg – przyspieszenie grawitacyjne (g≈9,81 m/s2g \approx 9,81 \, \text{m/s}^2g≈9,81m/s2).

Przykład obliczeń:

Załóżmy, że mamy wahadło o długości L=2 mL = 2 \, \text{m}L=2m. Obliczmy okres drgań. T=2πLg=2π29,81=2π0,2039≈2π×0,451≈2,83 sT = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2}{9,81}} = 2\pi \sqrt{0,2039} \approx 2\pi \times 0,451 \approx 2,83 \, \text{s}T=2πgL​​=2π9,812​​=2π0,2039​≈2π×0,451≈2,83s

Okres drgań wynosi około 2,83 s.

3. Okres drgań układu masy i sprężyny w ruchu oscylacyjnym

Dla układu, w którym masa mmm wykonuje ruch oscylacyjny, okres drgań zależy od masy mmm i współczynnika tłumienia. W przypadku idealnym, dla sprężyny i masy, wzór jest identyczny jak w przypadku układu sprężynowego: T=2πmkT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}T=2πkm​​

4. Okres drgań układu elektrycznego (obwód LC)

W obwodzie LC (czyli układzie indukcyjności LLL i pojemności CCC), okres drgań elektrycznych wyraża się wzorem: T=2πLCT = 2\pi \sqrt{LC}T=2πLC​

Gdzie:

• TTT – okres drgań,
• LLL – indukcyjność,
• CCC – pojemność.

Czynniki wpływające na okres drgań

1. Masa ciała

W układzie sprężynowym oraz w przypadku wahadła matematycznego, masa ciała ma wpływ na okres drgań. W przypadku sprężyny, okres drgań rośnie, gdy masa ciała wzrasta. W przypadku wahadła matematycznego, masa nie ma wpływu na okres, ponieważ okres zależy jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

2. Stała sprężystości

W przypadku układu sprężynowego stała sprężystości kkk ma wpływ na okres drgań. Im większa wartość kkk, tym krótszy okres drgań. Oznacza to, że sztywniejsza sprężyna (z większą stałą sprężystości) będzie powodować szybsze drgania.

3. Długość wahadła

Długość wahadła ma bezpośredni wpływ na jego okres. Im dłuższe wahadło, tym dłuższy okres drgań, co oznacza, że wahadło będzie drgało wolniej. Jest to zgodne z wzorem T=2πL/gT = 2\pi \sqrt{L/g}T=2πL/g​, gdzie okres rośnie wraz z długością LLL.

4. Przyspieszenie grawitacyjne

Przyspieszenie grawitacyjne ggg ma istotny wpływ na okres drgań, szczególnie w przypadku wahadła. Wzrost przyspieszenia grawitacyjnego powoduje skrócenie okresu drgań. Na przykład, na Księżycu, gdzie ggg jest mniejsze, okres drgań wahadła będzie dłuższy niż na Ziemi.

Zastosowanie okresu drgań w różnych dziedzinach

1. Fizyka

W fizyce okres drgań jest jednym z podstawowych parametrów opisujących ruch harmoniczny. Obliczanie okresu drgań jest niezbędne w badaniach ruchów ciał, takich jak w układach masy i sprężyny, wahadłach, a także w obwodach elektrycznych.

2. Akustyka

W akustyce, okres drgań jest związany z częstotliwością dźwięku. Im krótszy okres, tym wyższa częstotliwość dźwięku, co prowadzi do wyższego tonu. Okres drgań fal dźwiękowych jest podstawowym elementem przy obliczaniu wysokości dźwięków.

3. Inżynieria

W inżynierii okres drgań jest istotny w kontekście wibracji maszyn, budynków i mostów. Obliczenie okresu drgań tych struktur pozwala na projektowanie bezpiecznych i stabilnych konstrukcji, które są odporne na drgania i wibracje, szczególnie w obszarach narażonych na wstrząsy sejsmiczne.

Tabela: Okres drgań w różnych układach

Rodzaj układu	Wzór na okres drgań	Opis
Układ sprężynowy	T=2πmkT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}T=2πkm​​	Okres drgań zależy od masy i stałej sprężystości
Wahadło matematyczne	T=2πLgT = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}T=2πgL​​	Okres drgań zależy od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego
Obwód LC	T=2πLCT = 2\pi \sqrt{LC}T=2πLC​	Okres drgań w układzie LC (indukcyjność i pojemność)

Często zadawane pytania (FAQ)

1. Czy okres drgań zależy od amplitudy drgań?

W przypadku drgań harmonicznych (np. w układzie sprężynowym), okres drgań nie zależy od amplitudy. Okres pozostaje stały, niezależnie od tego, jak duże są drgania.

2. Jak obliczyć okres drgań dla drgań tłumionych?

W przypadku drgań tłumionych (gdzie w układzie występuje opór), okres może się zmieniać w czasie, zależnie od sił tłumiących. Do obliczenia okresu w takich przypadkach uwzględnia się również współczynnik tłumienia.

3. Jak długo trwa jedno pełne drganie w przypadku sprężyny?

Jeśli mamy układ sprężynowy, to czas jednego pełnego cyklu drgań, czyli okres, oblicza się za pomocą wzoru T=2πmkT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}T=2πkm​​.

4. Co to jest częstotliwość?

Częstotliwość to odwrotność okresu, czyli liczba cykli drgań wykonywanych w jednostce czasu. Częstotliwość jest miarą ilości drgań w jednej sekundzie i jest mierzona w hercach (Hz).

5. Jak zmiana masy wpływa na okres drgań?

Zwiększenie masy w układzie sprężynowym prowadzi do wydłużenia okresu drgań. Oznacza to, że bardziej masywny obiekt będzie wykonywał drgania wolniej.